10 spaßige Beispiele der Zahlentheorie im Freizeitbereich

Mathematiker klassifizieren und organisieren Zahlen auf verschiedene Arten. Natürliche Zahlen werden zum Zählen und Ordnen verwendet. Nominalnummern werden zur Benennung verwendet (wie eine Führerscheinnummer); Ganzzahlen sind Zahlen, die ohne Bruch oder Dezimalzahl ausgedrückt werden können. Primzahlen können nur durch 1 und für sich geteilt werden. und so weiter. Es gibt jedoch keine Grenzen dafür, wie wir Zahlen verstehen und verwenden können. Dementsprechend gibt es einen Zweig der reinen Mathematik, der in erster Linie auf dem Studium ganzer Zahlen beruht und als Zahlentheorie bezeichnet wird. Obwohl wir nun verstehen, dass die Zahlentheorie unbegrenzte Anwendungen, Zwecke und Zwecke hat, kann sie bis zu einem gewissen Grad frivol erscheinen Sinnlosigkeit - vor allem die als "Zahlentheorie für Freizeitaktivitäten" bekannte Teilmenge. Der Zahlentheoretiker Leonard Dickson sagte schließlich: "Gott sei Dank ist die Zahlentheorie von keiner Anwendung unberührt."

Das bedeutet aber nicht, dass es für die Neugierigen kein bisschen nerdigen Spaß bereitet. Lesen Sie weiter, um zu erfahren, was eine Reihe „interessant“, „komisch“, „glücklich“, „narzisstisch“, „perfekt“ und mehr macht!

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Freundliche Zahlen

Ah, freundliche Zahlen. Sie lieben sich so sehr. Wie viel? Lassen Sie uns ein klassisches Paar 284 und 220 nehmen und sehen, wie freundlich sie sind. Nehmen wir alle richtigen Teiler von 220 (das heißt, alle ihre Teiler, die keinen Rest übrig lassen, einschließlich der Zahl 1 und ausschließlich der Zahl selbst) und all diese:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Nehmen wir nun 284 und machen Sie dasselbe:

1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.

Voila: ein Paar freundliche Zahlen. Andere Paare umfassen (1184, 1210), (2620, 2924) und (5020, 5564). Diese Art von Zahlenpaar wurde von den Pythagoräern entdeckt und studiert und war im Laufe der Jahrhunderte Gegenstand zahlreicher Forschungen - Fermat, Descartes, der Iraner Muhammad Baqir Yazdi und der irakische Thurbit ibn Qurra gehören zu den vielen Mathematikern, die sich eingehend damit beschäftigt haben die Welt der gütigen Zahlen. Zu den weiteren Themen gehören Versuche, herauszufinden, ob es unendlich viele Paare gibt, Muster zu erkennen und besser zu verstehen, warum und wie dies geschieht.

Da sich Mathematiker niemals mit bloßen gütigen Zahlen zufrieden geben würden, sind "Verlobte Zahlen" Paare, bei denen die Summe der richtigen Teiler jeder Zahl gleich der anderen Zahl +1 ist.

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Emirp

„Emirp“ ist das Wort „Prim“, das rückwärts geschrieben wird, und bezieht sich auf eine Primzahl, die beim Umkehren der Ziffern zu einer neuen Primzahl wird. Emirps enthalten keine palindromischen Primzahlen (wie 151 oder 787) oder 1-stellige Primzahlen wie 7. Die ersten paar Emps sind 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149 und 157 - kehren Sie sie um und Sie haben eine neue Primzahl an den Händen.

Meistens ist es eine Wucht, immer wieder „emirp“ zu sagen. Mach einen Wirbel!

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Interessante Zahlen

In der Welt der Mathematik gibt es ein altes Paradoxon, das als "interessantes Zahlenparadoxon" bekannt ist. Wenn Sie die natürlichen Zahlen zählen, werden Sie eines entdecken, das nicht interessant ist. Paradoxerweise wird die Zahl jetzt interessanter, weil sie die kleinste uninteressante Zahl ist.

Natürlich ist dies alles subjektiv, da es auf einer unbestimmten Definition des Wortes "interessant" beruht. Ganz allgemein wird eine Zahl als interessant betrachtet, wenn sie eine Art mathematischer Qualität aufweist, die sie unterscheidet. 19 ist interessant, weil es erstklassig ist, 999 ist interessant, weil es ein Palindrom ist (und die britische Version von 911); 24 ist interessant, weil es (unter anderem) die größte Zahl ist, die durch alle Zahlen kleiner als die Quadratwurzel ist. Mathematiker

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Leistungsstarke Zahlen

Achilles war ein mächtiger trojanischer Kriegsheld, der extrem mächtig war, aber einen Fehler hatte - seine Achillesferse. Achilles-Zahlen sind wie er mächtig, aber nicht perfekt.

Beginnen wir also mit einer starken Zahl. Eine Zahl gilt als mächtig, wenn alle ihre Hauptfaktoren nach dem Quadrieren Faktoren bleiben. 25 ist eine starke Zahl, da der eine Primfaktor (5) ein Faktor bleibt, der einmal quadriert wurde (25, einmal in 25). Gehen wir nun zu perfekten Kräften über, einer Zahl, die als Ganzzahl einer anderen Ganzzahl ausgedrückt werden kann. 8 ist eine perfekte Kraft, da es 2 Würfel ist.

Nun also zurück zur ursprünglichen Prämisse: Achilleszahlen sind mächtig, aber keine perfekten Kräfte. 72 ist die erste Achilleszahl, da sie mächtig ist, aber keine perfekte Primzahl. Andere schließen 108, 200, 288, 392, 432, 500 und 648 ein.

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Komische Zahlen

Was sind komische Zahlen? Um sie zu verstehen, müssen wir zuerst mit „reichlich vorhandenen“ Zahlen beginnen. Zahlreiche Zahlen, die auch als "exzessiv" bezeichnet werden, sind größer als die Summe ihrer richtigen Teiler. 12 ist zum Beispiel die erste (kleinste) häufige Zahl - die Summe der richtigen Teiler, 1 + 2 + 3 + 4 + 6, ist 16. 12, hat also eine "Fülle" von 4, um wie viel Die Summe seiner Teiler überschreitet die Anzahl. Es gibt viele gerade reichlich Zahlen, aber bis 945 kommen wir nicht zu einer ungeraden Zahl.

Einige häufig vorkommende Zahlen sind „halbperfekt“ oder „pseudoperfekt“, was bedeutet, dass sie allen oder nur einigen ihrer richtigen Teiler gleich sind. 12 ist eine unvollständige, reichlich vorhandene Zahl, da einige ihrer Teiler zu 12 addiert werden können.

Endlich kommen wir zu merkwürdigen Zahlen. Eine Zahl ist seltsam, wenn sie reichlich vorhanden ist, aber NICHT halbperfekt; Mit anderen Worten, die Summe seiner Teiler ist größer als die Anzahl selbst, aber keine Teilmenge der Teilersummen entspricht der Anzahl. Seltsame Zahlen sind ungewöhnlich - die ersten sind 70, 836, 4 030 und 5 830.

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Unberührbare Zahlen

Während seltsame Zahlen nicht gleich der Summe ihrer Teiler sind, gehen unberührbare Zahlen noch einen Schritt weiter. Damit eine Zahl unberührbar bleibt, darf sie nicht gleich der Summe der richtigen Teiler einer beliebigen Anzahl sein. Einige Unberührbare sind 2, 5, 52 und 88; Tatsächlich wird angenommen, dass 5 die einzige ungerade unberührbare Zahl ist, die existiert (obwohl sie nicht formal nachgewiesen wurde). Es gibt unendlich viele unberührbare Zahlen, was bedeutet, dass es keine größere Anzahl gibt.

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Perfekte Zahlen

Nachdem wir das Seltsame und das Unberührbare besprochen haben, ist es an der Zeit, beim Großvater alle richtigen Zahlen bezüglich der Teiler zu überprüfen: perfekte Zahlen. Eine perfekte Zahl ist eine Zahl, die genau der Summe ihrer richtigen Teiler entspricht (wiederum ohne sich selbst). Die erste perfekte Zahl ist 6, da ihre Teiler (1, 2, 3) alle bis zu 6 sind. Auf Sechs folgen 28, 496 und 8.128. Frühgriechische Mathematiker kannten nur diese ersten 4 perfekten Zahlen; Nichomatus entdeckte im Jahr 100 n. Chr. 8.128. Drei weitere wurden entdeckt, der erste um 1456 (33.550.336) von einem unbekannten Mathematiker und 1588 (8.589.869.056 und 137.438.691.328) im Jahre 1588 vom italienischen Mathematiker Pietro Cataldi.

Alle bekannten perfekten Zahlen sind gerade; Es ist noch nicht bekannt, ob eine ungerade Primzahl existiert oder überhaupt möglich ist. Der englische Mathematiker James Joseph Sylvester schrieb: „… eine längere Meditation über dieses Thema hat mich überzeugt, dass die Existenz einer solchen [ungeraden Zahl] sozusagen dem komplexen Geflecht von Bedingungen entgeht, die es auf allen Seiten einschränken -würde ein kleines Wunder sein. "

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Glückliche Zahlen

Einige Zahlen sind komisch. andere sind glücklich. Wenn Sie wissen möchten, ob eine bestimmte Anzahl zufrieden ist, müssen Sie die folgenden Operationen ausführen. Nehmen wir die Nummer 44:

Quadrieren Sie zuerst jede Ziffer und addieren Sie sie dann zusammen:

4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Dann machen wir es wieder mit unserer neuen Nummer:

3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13

Und wieder:

1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10

Und schlussendlich:

1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

Voila! Es ist eine glückliche Nummer. Immer wenn Sie eine Nummer nehmen, dieses "Verfahren" ausführen und schließlich die Nummer 1 erreichen, haben Sie selbst eine glückliche Nummer. Wenn Ihre Nummer nie 1 erreicht, ist sie leider unglücklich. Interessanterweise sind glückliche Zahlen sehr häufig; Es gibt zum Beispiel 11 von ihnen zwischen 1 und 50.

Die letzte glückliche Zahl ohne wiederkehrende Ziffern lautet 986.543.210. Das ist in der Tat eine glückliche Zahl.

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Narzisstische Zahlen

Narzisstische Zahlen, die auch als Armstrong-Zahlen oder "pluperfect digitale Invarianten" bezeichnet werden, sind Zahlen, die - genau hinhören - gleich der Summe ihrer Ziffern sind, wenn diese Ziffern zur AMOUNT-Zahl der Ziffern in der Zahl angehoben werden.

OK. Was? Nehmen wir ein Beispiel für die vier vorhandenen narzisstischen Würfel:

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

In diesen Fällen ist jede Ziffer in Würfel geschrieben, da die Nummer aus drei Ziffern besteht. Dann werden diese Würfelzahlen addiert, um eine Summe zu erzeugen, die der ursprünglichen Zahl entspricht. Es gibt keine 1-stelligen narzißtischen Nummern, weder 12- noch 13-stellige Nummern. die zwei 39-stelligen sind:

115132219018763992565095597973971522400 und 115132219018763992565095597973971522401.

Der englische Mathematiker GH Hardy erkannte die Frivolität solcher Zahlen, indem er in seinem Buch "The Mathematicians Apology" (The Mathematicians Apology) die Aussage lautete: "Dies sind seltsame Fakten, die sich sehr gut für Puzzlesäulen eignen und die Amateure amüsieren, aber nichts, was den Mathematiker anspricht. ”

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Repdigits und Repunits

Ein Repdigit ist eine natürliche Zahl mit einer sich wiederholenden Ziffer. Tatsächlich stammt der Name von dem Begriff "wiederholte Ziffer". Die bekannteste Redigit ist die sogenannte "Beast Number" 666, ein allgemeines Symbol des Antichristen oder des Satans. Ein Repunit ist also ein Repdigit, das nur die Zahl 1 verwendet; Repunits werden häufig im Binärcode angezeigt und beziehen sich auf die berühmtesten Primzahlen, Mersenne Primes. Es wurde vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt. Wenn Sie also versuchen möchten, dies zu beweisen, tun Sie dies bitte in Ruhe.