10 coolsten mathematischen Ergebnisse

Viele Menschen werden von den dunklen Symbolen und den strengen Regeln der Mathematik abgeschreckt und geben ein Problem auf, sobald sie Zahlen und Buchstaben sehen. Aber obwohl Mathematik manchmal dicht und schwierig sein kann, sind die Ergebnisse manchmal schön, irrsinnig oder einfach nur unerwartet. Ergebnisse wie:

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Der 4-Farben-Satz

Das 4-Farben-Theorem wurde erstmals 1852 von einem Mann namens Francis Guthrie entdeckt, der zu dieser Zeit versuchte, eine Karte aller Grafschaften Englands zu färben (dies war vor der Erfindung des Internets, es gab nicht viel zu tun tun). Er entdeckte etwas Interessantes - er brauchte nur maximal vier Farben, um sicherzustellen, dass keine Grafschaften, die eine Grenze gemeinsam benutzten, gleich gefärbt waren. Guthrie fragte sich, ob dies für eine Karte zutrifft oder nicht, und die Frage wurde zu einer mathematischen Neugier, die jahrelang ungelöst blieb.

1976 (über ein Jahrhundert später) wurde dieses Problem schließlich von Kenneth Appel und Wolfgang Haken gelöst. Der Beweis, den sie fanden, war ziemlich komplex und stützte sich teilweise auf einen Computer, es heißt jedoch, dass in jeder politischen Landkarte (z. B. von den Staaten) nur vier Farben erforderlich sind, um jeden einzelnen Staat einzufärben, so dass sich niemals Staaten derselben Farbe befinden Kontakt.

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Brouwers Fixpunktsatz

Dieser Satz stammt aus einem Zweig der Mathematik, der als Topologie bekannt ist und von Luitzen Brouwer entdeckt wurde. Während sein technischer Ausdruck ziemlich abstrakt ist, hat er viele faszinierende Implikationen für die reale Welt. Nehmen wir an, wir haben ein Bild (zum Beispiel die Mona Lisa) und wir nehmen eine Kopie davon. Wir können dann alles tun, was wir wollen, um es zu vergrößern, verkleinern, drehen, zerknüllen, alles andere. Der Festpunktsatz von Brouwer besagt, dass, wenn wir diese Kopie über unser Originalbild legen, mindestens ein Punkt auf der Kopie vorhanden sein muss, der genau den gleichen Punkt auf dem Original überschneidet. Es könnte ein Teil von Monas Auge, Ohr oder möglichem Lächeln sein, aber es muss existieren.

Dies funktioniert auch in drei Dimensionen: Stellen Sie sich vor, wir hätten ein Glas Wasser, und wir nehmen einen Löffel und rühren ihn so viel auf, wie wir wollen. Nach dem Satz von Brouwer wird es mindestens ein Wassermolekül geben, das sich genau an der Stelle befindet, an der wir vor dem Rührvorgang waren.

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Russells Paradoxon

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An der Wende des 20. Jahrhunderts wurden viele Leute von einem neuen Zweig der Mathematik namens Set Theory (den wir später in dieser Liste behandeln werden) fasziniert. Grundsätzlich ist eine Menge eine Sammlung von Objekten. Der Gedanke an die Zeit war, dass alles zu einem Set werden könnte: Die Menge aller Obstarten und die Menge aller US-Präsidenten waren beide vollkommen gültig. Und dies ist wichtig, außerdem können Sets andere Sets enthalten (wie die Menge aller Sets im vorhergehenden Satz). Der berühmte Mathematiker Bertrand Russell machte 1901 einen ziemlichen Aufsehen, als er feststellte, dass diese Denkweise einen tödlichen Fehler hatte: Es kann nämlich nichts zu einem Satz gemacht werden.

Russell entschied sich für Meta über Dinge und beschrieb ein Set, das alle Sets enthielt, die sich selbst nicht enthalten. Der Satz aller Früchte enthält nicht sich selbst (die Jury ist noch nicht darüber informiert, ob sie Tomaten enthält), sie kann also zusammen mit vielen anderen in Russels Satz aufgenommen werden. Aber wie sieht es mit Russell aus? Es enthält nicht sich selbst, also sollte es sicher auch enthalten sein. Aber warte… jetzt enthält es sich selbst, also müssen wir es natürlich herausnehmen. Aber wir müssen es jetzt zurücklegen… und so weiter. Dieses logische Paradox führte zu einer vollständigen Umgestaltung von Set Theory, einem der wichtigsten mathematischen Zweige der heutigen Zeit.

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Fermats letzter Satz

Erinnern Sie sich an Pythagoras 'Satz von der Schule? Es hat mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun und sagt, dass die Summe der Quadrate der zwei kürzesten Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite ist (x Quadrat + y Quadrat = z Quadrat). Der berühmteste Satz von Pierre de Fermat besagt, dass die gleiche Gleichung nicht zutrifft, wenn Sie das Quadrat durch eine beliebige Zahl größer als 2 ersetzen (Sie können beispielsweise nicht sagen, dass x cubed + y cubed = z cubed ist), solange x, y, und z sind positive ganze Zahlen.

Wie Fermat selbst schrieb: „Ich habe einen wirklich wunderbaren Beweis dafür gefunden, dessen Rand zu eng ist, um ihn zu begrenzen.“ Das ist wirklich zu schade, denn während Fermat 1637 dieses Problem stellte, blieb es eine ganze Weile unbewiesen. Ich meine, es wurde 1995 (358 Jahre später) von einem Mann namens Andrew Wiles bewiesen.

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Das Doomsday-Argument

Es ist eine faire Annahme, dass die meisten Leser dieses Artikels Menschen sind. Als Menschen ist dieser Eintrag besonders ernüchternd: Mathematik kann verwendet werden, um zu bestimmen, wann unsere Spezies aussterben wird. Mit der Wahrscheinlichkeit sowieso.

Das Argument (das seit etwa 30 Jahren existiert und ein paar Mal entdeckt und wiederentdeckt wurde) besagt im Wesentlichen, dass die Zeit der Menschheit fast vorüber ist. Eine Version des Arguments (dem Astrophysiker J. Richard Gott zugeschrieben) ist überraschend einfach: Wenn man die gesamte Lebensdauer der menschlichen Spezies als eine Zeitleiste von Geburt bis zum Tod betrachtet, können wir feststellen, wo wir uns jetzt auf dieser Zeitlinie befinden.

Da gerade jetzt ein zufälliger Punkt in unserer Existenz als Spezies ist, können wir mit 95% Genauigkeit sagen, dass wir uns irgendwo innerhalb der mittleren 95% der Zeitlinie befinden. Wenn wir sagen, dass wir derzeit genau 2,5% in der menschlichen Existenz sind, haben wir die längste Lebenserwartung. Wenn wir sagen, wir sind zu 97,5% in der menschlichen Existenz, dann haben wir die kürzeste Lebenserwartung. Dies ermöglicht uns, die erwartete Lebensdauer der Menschheit zu erfassen. Gott zufolge besteht eine 95% ige Chance, dass Menschen zwischen 5100 und 7,8 Millionen Jahren aussterben werden. Also, los geht's, Menschlichkeit - besser auf die Bucket-Liste.

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Nicht-euklidische Geometrie

Ein anderes Stück Mathematik, an das Sie sich vielleicht aus der Schule erinnern, ist die Geometrie. Dies ist der Teil der Mathematik, bei dem das Kritzeln in Ihren Notizen der Punkt war. Die Geometrie, mit der die meisten von uns vertraut sind, wird als Euklidische Geometrie bezeichnet und basiert auf fünf recht einfachen, selbstverständlichen Wahrheiten oder Axiomen. Es ist die regelmäßige Geometrie von Linien und Punkten, die wir auf eine Tafel zeichnen können. Lange Zeit galt es als die einzige Möglichkeit, mit der Geometrie funktionieren könnte.

Das Problem ist jedoch, dass die selbstverständlichen Wahrheiten, die Euklid vor über 2000 Jahren formuliert hatte, nicht für alle so selbstverständlich waren. Es gab ein Axiom (bekannt als paralleles Postulat), das sich nie mit Mathematikern befasste, und jahrhundertelang versuchten viele Menschen, es mit den anderen Axiomen zu versöhnen. Zu Beginn des 18. Jahrhunderts wurde ein mutiger neuer Ansatz versucht: Das fünfte Axiom wurde einfach in etwas anderes geändert. Anstatt das gesamte Geometriesystem zu zerstören, wurde ein neues entdeckt, das jetzt als hyperbolische (oder Bolyai-Lobachevskian) Geometrie bezeichnet wird. Dies führte zu einem vollständigen Paradigmenwechsel in der wissenschaftlichen Gemeinschaft und öffnete die Tore für viele verschiedene Arten nicht-euklidischer Geometrie. Einer der bekanntesten Typen ist die Riemannsche Geometrie, mit der keine andere als Einsteins Relativitätstheorie beschrieben wird (unser Universum hält sich interessanterweise nicht an die euklidische Geometrie!).

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Eulers Formel

Die Formel von Euler ist eines der mächtigsten Ergebnisse auf dieser Liste, und zwar aufgrund eines der produktivsten Mathematiker, die je gelebt haben, Leonhard Euler. Er hat im Laufe seines Lebens mehr als 800 Artikel veröffentlicht - viele davon blind.

Sein Ergebnis sieht auf den ersten Blick recht einfach aus: e ^ (i * pi) + 1 = 0. Für diejenigen, die es nicht wissen, sind sowohl e als auch pi mathematische Konstanten, die an allen möglichen unerwarteten Orten auftauchen, und ich steht für die imaginäre Einheit, eine Zahl, die der Quadratwurzel von -1 entspricht. Das Bemerkenswerte an Eulers Formel ist, wie es gelingt, fünf der wichtigsten Zahlen der Mathematik (e, i, pi, 0 und 1) in einer so eleganten Gleichung zu kombinieren. Der Physiker Richard Feynman nannte ihn "die bemerkenswerteste Formel in der Mathematik", und seine Bedeutung liegt in seiner Fähigkeit, verschiedene Aspekte der Mathematik zu vereinheitlichen.

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Turings Universalmaschine

Wir leben in einer Welt, die von Computern dominiert wird. Sie lesen diese Liste gerade auf einem Computer! Es versteht sich von selbst, dass Computer eine der wichtigsten Erfindungen des 20. Jahrhunderts sind, aber es überrascht Sie vielleicht zu wissen, dass Computer in ihrem Kern im Bereich der theoretischen Mathematik anfangen.

Der Mathematiker (und auch der WW2-Codebrecher) Alan Turing entwickelte ein theoretisches Objekt, das als Turing-Maschine bezeichnet wird. Eine Turing-Maschine ist wie ein sehr einfacher Computer: Sie verwendet eine unendliche Bandkette und 3 Symbole (beispielsweise 0, 1 und ein Leerzeichen) und führt dann eine Reihe von Anweisungen aus. Sie können beispielsweise eine 0 in eine 1 ändern und ein Leerzeichen nach links verschieben oder ein Leerzeichen ausfüllen und ein Leerzeichen nach rechts verschieben (z. B.). Auf diese Weise könnte eine Turingmaschine verwendet werden, um eine genau definierte Funktion auszuführen.

Anschließend beschrieb Turing eine Universaldrehmaschine, eine Turingmaschine, die jede Turingmaschine mit jeder Eingabe imitieren kann. Dies ist im Wesentlichen das Konzept eines Computers mit gespeichertem Programm. Mit nichts als Mathematik und Logik schuf Turing das Gebiet der Informatik vor Jahren, bevor die Technologie überhaupt einen echten Computer konstruierte.

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Verschiedene Stufen der Unendlichkeit

Infinity ist schon ein ziemlich schwieriges Konzept. Menschen waren nicht dazu gedacht, das Unendliche zu verstehen, und deshalb wurde Infinity von Mathematikern immer mit Vorsicht behandelt. Erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts entwickelte Georg Cantor den als Set Theory bekannten Mathematikzweig (erinnern Sie sich an Russells Paradoxon?), Eine Theorie, die es ihm ermöglichte, über die wahre Natur der Unendlichkeit nachzudenken. Und was er fand, war wirklich umwerfend.

Immer wenn wir uns unendlich vorstellen, gibt es immer eine andere Art von unendlich, die größer ist. Die niedrigste Stufe der Unendlichkeit ist die Anzahl der ganzen Zahlen (1,2,3…) und es ist eine abzählbare Unendlichkeit. Mit einigen sehr eleganten Argumenten hat Cantor festgestellt, dass danach noch eine weitere Ebene der Unendlichkeit besteht, die Unendlichkeit aller reellen Zahlen (1, 1.001, 4.1516… im Grunde jede Zahl, die Sie sich vorstellen können). Diese Art der Unendlichkeit ist unzählbar, was bedeutet, dass Sie, selbst wenn Sie alle Zeit im Universum hätten, niemals alle reellen Zahlen in der richtigen Reihenfolge auflisten könnten, ohne einige zu verpassen. Aber warten - wie sich herausstellt, gibt es danach noch mehr Ebenen unzähliger Unendlichkeit. Wie viele? Eine unendliche Anzahl natürlich.

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Gödels Unvollständigkeitssätze

Der österreichische Mathematiker Kurt Gödel hat 1931 zwei Theoreme bewiesen, die die Welt der Mathematik bis ins Innerste erschütterten, weil sie zusammen etwas ziemlich Entmutigendes zeigten: Mathematik ist nicht vollständig und wird es niemals sein.

Ohne auf die technischen Details einzugehen, hat Gödel gezeigt, dass es in jedem formalen System (z. B. einem System der natürlichen Zahlen) bestimmte wahre Aussagen über das System gibt, die vom System selbst nicht bewiesen werden können. Grundsätzlich hat er gezeigt, dass es unmöglich ist, dass ein axiomatisches System vollständig in sich geschlossen ist, was allen bisherigen mathematischen Annahmen widersprach. Es wird niemals ein geschlossenes System geben, das alle nur mathematischen Systeme enthält, die immer größer werden, da wir erfolglos versuchen, sie vollständig zu machen.