Top 10 Unerkennbare Dinge

Es gibt viele Dinge, die wir nicht wissen. Ich persönlich bin ein wahres Füllhorn der Ignoranz. Es gibt jedoch einen Unterschied zwischen Dingen, die wir nicht kennen, und Dingen, die nicht erkannt werden können. Zum Beispiel weiß niemand, wann Shakespeare geboren wurde (obwohl wir wissen, wann er getauft wurde). Es ist jedoch nicht unmöglich, dass wir in der Zukunft herausfinden können, dass ein lange verlorenes Dokument gefunden wurde, das seine Geburt erwähnt. Daher ist das wahre Geburtsdatum von Shakespeare nicht unbekannt, nur unbekannt. Diese Liste enthält 10 Dinge, die im Prinzip nicht bekannt sind. Sie sind jetzt nicht nur unbekannt, sie können auch niemals bekannt sein.

Die meisten davon sind mathematisch. Ich habe versucht, es so nicht-technisch wie möglich zu machen - abgesehen von allem anderen bin ich kein Mathematiker, also habe ich versucht, es so weit wie möglich zu dumm zu machen, damit ich es verstehen kann.

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Sets und weitere Sets

Unbekanntes: Was ist in einer Menge von Mengen enthalten, die sich nicht selbst enthalten?

Wir müssen für einige dieser Dinge ein wenig Mathematik machen! Dies ist das erste auf der Liste, denn in gewisser Weise beginnt das Konzept des „Unbekannten“ mit diesem Paradox, das 1901 von Bertrand Russell entdeckt wurde.

Beginnen wir mit der Idee eines Sets. Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten - Sie könnten beispielsweise eine Menge positiver gerader Zahlen haben, die 2, 4, 6, 8… enthält, oder die Menge von Primzahlen, die 2, 3, 5, 7, 11… enthält gut.

Können Sets andere Sets enthalten? Ja, kein Problem - Sie könnten eine Menge von Sets haben, die andere Sets enthalten - und diese Menge würde sich natürlich selbst enthalten. Tatsächlich können Sie Sets in zwei Typen aufteilen - diejenigen, die sich selbst enthalten, und solche, die dies nicht tun.

Betrachten Sie also eine Menge (S, sagen wir) von Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Enthält S sich selbst? Wenn dies der Fall ist, sollte es nicht im Set enthalten sein, aber wenn nicht, sollte dies der Fall sein. Also hüpft S ständig in und aus sich heraus.

Dieses Paradoxon verursachte bei den Mathematikern eine Menge Bestürzung. Stellen Sie sich jemanden vor, der beweist, dass eine Zahl gleichzeitig gerade und ungerade sein kann, es ist ähnlich beunruhigend. Das Paradoxon wurde umgangen - im Wesentlichen durch die Neudefinition der Mengenlehre.

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Grahams Nummer

Es wurde gesagt, dass das Problem bei der Wahrnehmung der Menschen durch das Universum ist, dass unser Gehirn nur daran gewöhnt ist, mit kleinen Zahlen, kurzen Entfernungen und kurzen Zeiträumen umzugehen. Grahams Zahl ist groß genug, um die Gehirne der meisten Leute zum Dämpfen zu bringen; es ist sehr groß; Um es in einen Zusammenhang zu stellen, betrachten wir einige so genannte große Zahlen:

Die meisten Leute haben von einem Googol gehört - für die meisten Zwecke ist es eine große Zahl - 10 ^ 100, die 1 ist, gefolgt von 100 Nullen.

Es gibt jedoch viel größere Zahlen da draußen; Ein Googolplex ist 1, gefolgt von Googol-Nullen, und der Mathematiker Stanley Skewes hat Zahlen definiert, die viel größer als ein Googolplex sind.

Um diese in einen Zusammenhang zu stellen, ist der kleinste von ihnen (das Googol) immer noch viel größer als die Anzahl der Teilchen im Universum (etwa 10 ^ 87).

Die Zahl von Graham wirft diese "Kleinkinder" jedoch aus dem Boden - sie wurde von Ronald Graham in seiner (für mich) unverständlichen Arbeit an mehrdimensionalen Hyperwürfeln verwendet (dies ist die Obergrenze für eine der Lösungen). Es genügt zu sagen, dass es viel größer ist als die von Skewes und tatsächlich ist das Universum nicht groß genug, um die gedruckte Version zu speichern. Auch wenn jede Ziffer die Größe eines Elektrons hatte. Nicht einmal annähernd.

Das wirklich Wunderbare an Grahams Zahl ist, dass es möglich ist, die letzten Ziffern zu berechnen, und wir wissen, dass sie mit einer 7 endet.

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Kleinste ganze Zahl

Unbekanntes Ding: Was ist die kleinste positive ganze Zahl, die in weniger als elf Wörtern nicht definierbar ist?

Dies ist ein Problem in der Philosophie der Mathematik. Nur um die Dinge etwas klarer zu machen - eine ganze Zahl ist eine ganze Zahl (1, 2, 3 usw.), und für kleinere ganze Zahlen ist es einfach, sie in Worten zu definieren:

"Das Quadrat von 2" = 4
"Eins mehr als 4" = 5

… und so weiter. Jetzt als Gedankenexperiment - bedenken Sie, wie viele elf Wortsätze es gibt - offensichtlich gibt es viele; Es gibt jedoch nur eine begrenzte Anzahl von Wörtern (ungefähr 750.000 in Englisch), so dass es nur eine begrenzte Anzahl von elf Wörtern gibt. Irgendwann würden Sie auslaufen und es würde eine ganze Zahl geben, die Sie nicht definieren könnten. Abgesehen davon enthält „Die kleinste positive ganze Zahl, die nicht in unter elf Wörtern definiert werden kann“ nur zehn Wörter, sodass Sie sie in weniger als elf Wörtern definieren können.

Dies wird Berrys Paradoxon genannt und ist in der Tat eine Art "Trickser" der Sprache - wir bewegen uns subtil von der Benennung von Nummern zur Beschreibung, aber immer noch kann sich niemand mit dieser Nummer einfallen lassen!

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Software

Unbekanntes Ding: Wird ein Computerprogramm jemals aufhören?

Als ich in der Schule durch reinem Mathematikunterricht saß, war es eine verbreitete Beschwerde, dass das, was wir lernten, „nutzlos“ sei wie ein Grade-A nutzlos, völlig akademisch, Zeitverschwendung. Nur dass dies zur Entwicklung von digitalen Computern führte.

Alan Turing war ein englischer Mathematiker und ein Wunderkind, besonders in der Mathematik. Seine Arbeit an Rechenmaschinen war anfangs völlig theoretisch; Er arbeitete an der Idee, mathematische Aussagen vollständig numerisch zu beschreiben, damit sie von einer theoretischen Rechenmaschine verarbeitet werden können. Er dachte an das Konzept einer Universalcomputermaschine (jetzt als Turing-Maschine bezeichnet) als Gedankenexperiment - er sah sich nicht vor, dass jemand tatsächlich eine bauen würde.

Er argumentierte, dass ein Computerprogramm entweder für immer laufen muss oder aufhören muss.Er hat bewiesen, dass es unmöglich ist, automatisch zu bestimmen, was passieren wird - ich weiß, dass Sie vielleicht behaupten, Sie könnten "das Programm ausführen und sehen, was passiert" - aber wenn das Programm erst nach 7 Billionen Jahren aufhört?

Ein wenig mehr über Turing: Seine Argumentation ist besonders bemerkenswert, weil er dies 1936 tat - Jahre bevor der erste digitale Computer gebaut wurde. Der Zweite Weltkrieg begann im Jahr 1939, aber vorher hatte Turing im Bletchley Park an Code-Breaks gearbeitet. Versuchen, den deutschen Enigma-Code zu entschlüsseln. Es war klar, dass ein "manueller" Ansatz zu langsam war und Turing die erste Dekodiermaschine (Bombe genannt) spezifizierte. Dies führte zu Colossus - der erste programmierbare digitale Computer, der automatisch viele mögliche "Schlüssel" durchlaufen konnte. Seine Arbeit war für die Entschlüsselung so wichtig, dass vieles lange nach Kriegsende geheim blieb; einige wurden erst in diesem Jahr veröffentlicht - 60 Jahre nach ihrer Veröffentlichung.

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Berechnet nicht

Unbekanntes: Es gibt Zahlen, die nicht berechnet werden können.

Dies ist ein weiterer Gedankengang, der von Alan Turing bewiesen wurde. Zum einen gibt es mehr als eine „Unendlichkeit“. Wie viele positive, ganze Zahlen gibt es beispielsweise? Es gibt unendlich - sie hören nie auf. Wie viele positive, gerade Zahlen gibt es? Das Gleiche - wenn Sie eine positive ganze Zahl verdoppeln, erhalten Sie eine entsprechende gerade Zahl, daher muss dieselbe Zahl vorhanden sein.

Okay, wie viele reelle Zahlen gibt es? Reelle Zahlen umfassen alle Brüche, irrationale Zahlen (wie z. B. pi) und ganze Zahlen (positive oder negative Zahlen). Nun, es gibt viel mehr als ganze Zahlen - zwischen jeder ganzen Zahl gibt es unendlich viele reelle Zahlen. Die Anzahl der reellen Zahlen ist also viel größer als die Anzahl der ganzen Zahlen.

Mit diesem Konzept fest verankert; Sie können also sagen:

Angenommen, Sie schreiben Computerprogramme, um reelle Zahlen zu erzeugen, eine für jede reelle Zahl.

Sie zählen jedes Programm. Die erste ist "1", die zweite, "2" usw. - während Sie zählen, verwenden Sie die positiven ganzen Zahlen.

Das Problem ist, dass, obwohl Sie glücklich sind, unendlich viele Programme zu schreiben, diese Unendlichkeit viel kleiner ist als die unendliche Anzahl von reellen Zahlen. Es müssen also viele (tatsächlich die meisten) reellen Zahlen fehlen - das kann nicht sein berechnet.

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Richtig oder falsch?

Unbekanntes Ding: In der Mathematik gibt es wahre Dinge, die nicht bewiesen werden können - und wir wissen nicht, was sie sind.

Dieser hirnverletzende Satz wurde von Kurt Gödel entwickelt. Das Konzept stammt aus dem Jahr 1900, als David Gilbert 23 "Probleme" in der Mathematik vorschlug, die er im kommenden Jahrhundert gelöst sehen möchte. Ein Problem bestand darin zu beweisen, dass die Mathematik konsistent ist - was sehr erfreulich wäre. Doch 1901 blies Gödel das mit seinem Unvollständigkeitssatz aus dem Wasser - ich werde den Satz hier nicht ausführlich durchgehen, zum Teil weil ich nicht alle Details verstehe, aber hauptsächlich, weil ich zuvor drei separate Vorlesungen benötigte Ich hatte sogar das Gefühl, dass ich dorthin komme, also wenn Sie interessiert sind: Wikipedia ist Ihr Freund!

Zusammenfassend zeigt der Satz, dass Sie Mathematik nicht nur mit Mathematik als konsistent beweisen können (Sie müssten eine "Metasprache" verwenden). Außerdem hat er gezeigt, dass es in der Mathematik wahre Dinge gibt, die nicht wahr sind.

Als ich den Satz lernte, wurde vorgeschlagen, dass der berühmte letzte Satz von Fermat ein "wahres Ding sein könnte, das sich nicht als wahr erweisen kann", aber dies wurde als Beispiel verdorben, als Andrew Wiles es 1995 bewies. Allerdings hier sind ein paar Dinge, die wahr sein könnten, aber nicht beweisbar sind:

"Es gibt keine ungerade perfekte Zahl."

Eine perfekte Zahl ist eine positive ganze Zahl, deren Teiler sich zu sich addieren. Zum Beispiel ist 6 eine perfekte Zahl - 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 ist die nächste perfekte Zahl. Perfekte Zahlen kommen selten vor und bisher wurden nur 41 perfekte Zahlen gefunden. Niemand weiß, wie viele es gibt - aber zwischen 41 und unendlich!

Bis jetzt waren alle perfekten Zahlen gerade, aber niemand weiß, ob es noch eine ungerade Zahl gibt, aber wenn es eine gibt, ist es eine sehr große Zahl. größer als 10 ^ 1500 - (1 mit 1500 Nullen danach).

"Jede gerade Zahl ist die Summe von zwei Primzahlen."

Eine Primzahl ist nur durch sich oder durch 1 teilbar, und es ist eine merkwürdige Tatsache, dass bis jetzt jede gerade getestete Zahl die Summe von zwei ist - zum Beispiel: 8 = 5 + 3 oder 82 = 51 + 31. Wiederum Es ist bekannt, dass es für viele Zahlen gilt (bis zu 10 ^ 17), und es ist auch bekannt, dass je höher eine Zahl ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass es eine Primzahl ist. Aber wer sagt, dass es da draußen keine wirklich große Zahl gibt, wo es nicht stimmt?

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Was ist Wahrheit, Mann?

Noch in der Welt der Beweisbarkeit kommen wir zu Tarksis Satz der Undefinierbarkeit, aber um zu verblüffen, ist hier etwas vor dem Hintergrund von Tarksi.

Er war der Sohn jüdischer Eltern, die im Vorkriegspolen Polen geboren wurden, und er hatte großes Glück. Er wurde 1901 als Alfred Teitelbaum geboren. In Polen der Vorkriegszeit herrschte ein weit verbreiteter Antisemitismus. 1923 änderten Alfred und sein Bruder ihren Namen in "Tarski" - einen Namen, den sie erfunden hatten, weil es "mehr polnisch klang". Sie änderten auch ihre Religion von jüdisch bis römisch-katholisch - obwohl Alfred eigentlich Atheist war.

In den späten 1930er Jahren bewarb sich Tarski für mehrere Professuren in Polen, wurde aber abgelehnt - zum Glück, wie sich herausstellte. 1939 wurde er zu einer Konferenz in Amerika eingeladen, an der er wahrscheinlich nicht teilgenommen hätte, wenn er kürzlich eine Professur angetreten hätte.Tarski hatte im letzten Monat vor der deutschen Invasion das letzte Schiff gefangen, um Polen zu verlassen. Er hatte nicht gedacht, dass er aus Polen „flieht“ - er ließ seine Kinder zurück und dachte, er würde bald wiederkommen. Seine Kinder überlebten den Krieg und wurden 1946 wiedervereinigt, obwohl der Großteil seiner erweiterten Familie von den deutschen Besatzern getötet wurde.

Zurück zum Satz: Tarski hat bewiesen, dass die arithmetische Wahrheit nicht in der Arithmetik definiert werden kann. Er hat dies auch auf jedes formale System ausgedehnt; "Wahrheit" für dieses System kann nicht innerhalb des Systems definiert werden.

Es ist möglich, die Wahrheit für ein System in einem stärkeren System zu definieren. Aber natürlich kann man die Wahrheit nicht in diesem stärkeren System definieren, man müsste zu einem noch stärkeren System übergehen - und so weiter, auf unbestimmte Zeit nach der unerreichbaren Wahrheit suchen.

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Partikelangaben

Unbekanntes Ding: Wo ist das Teilchen und wie schnell geht es?

Wir verlassen die hirnverletzende Welt der Mathematik, aber leider betreten wir die noch kortikaler werdende Welt der Quantenphysik. Das Unbestimmtheitsprinzip entstand bei der Untersuchung subatomarer Teilchen und veränderte die Sichtweise des Universums. Als ich in der Schule war, wurde uns beigebracht, dass ein Atom wie ein Mini-Sonnensystem mit einem sonnenähnlichen Kern in der Mitte ist, der Elektronen umkreist, und die Elektronen waren wie winzige Murmeln.

Das ist so falsch - und eine der Schlüsselentdeckungen auf dem Weg zum Beweis dafür, dass dies das Prinzip der Unschärfe von Heisenberg war. Werner Heisenberg war ein deutscher theoretischer Physiker, der in den 1920er Jahren eng mit dem dänischen Physiker Niels Bohr zusammenarbeitete. Die Argumentation von Heisenberg geht so:

Wie erfahre ich, wo sich ein Partikel befindet? Ich muss es betrachten, und um es anzusehen, muss ich es beleuchten. Um es zu beleuchten, muss ich Photonen abfeuern. Wenn ein Photon auf das Partikel trifft, wird das Partikel von den Photonen bewegt. Wenn ich also versuche, seine Position zu messen, ändere ich seine Position.

Technisch heißt das Prinzip, dass man die Position und den Impuls eines Partikels nicht gleichzeitig kennen kann. Dies ist ähnlich, aber nicht dasselbe wie der "Beobachter" -Effekt beim Experimentieren, bei dem es einige Experimente gibt, deren Ergebnisse sich je nach ihrer Beobachtung ändern. Das Unbestimmtheitsprinzip beruht auf viel festeren mathematischen Grundlagen und hat, wie gesagt, die Sichtweise des Universums (oder wie das Universum des Kleinsten betrachtet) geändert. Elektronen werden jetzt als Wahrscheinlichkeitsfunktionen und nicht als Partikel betrachtet. Wir können berechnen, wo sie wahrscheinlich sind, aber nicht wo sie sind - sie könnten tatsächlich irgendwo sein.

Das Prinzip der Ungewissheit war bei seiner Ankündigung recht umstritten. Einstein sagte bekanntlich: "Gott spielt nicht mit dem Universum", und um diese Zeit begann die Spaltung in der Physik, die die Quantenmechanik trennte - was die sehr kleinen und die Makrophysik, die größere Objekte und Kräfte untersucht, begann. Diese Spaltung muss noch gelöst werden.

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Chaitins Konstante

Chaitins Konstante ist ein Beispiel für das, was einem Mathematiker als normal und vernünftig erscheint, aber für den Rest von uns verrückt klingt. Chaitins Konstante ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Computerprogramm anhält. Was verrückt daran ist (eigentlich eines von ein paar Dingen) ist, dass es für jedes Programm eine andere Konstante gibt, also gibt es unendlich viele Werte für diese „Konstante“ - die normalerweise als griechisches Omega (Ω) dargestellt wird. . Das andere etwas verrückte daran ist, dass es nicht möglich ist, zu bestimmen, was Ω ist - es ist eine nicht zu berechnende Zahl, was sehr schade ist - wenn wir Ω berechnen könnten, wurde gezeigt, dass die meisten unbewiesenen Probleme in der Mathematik tatsächlich bewiesen werden konnten ( oder widerlegt).

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Unbekannte Unbekannte

Bisher haben wir Dinge beschrieben, von denen wir wissen, dass sie nicht erkennbar sind (wenn das Sinn macht). Der letzte Punkt beschreibt jedoch Dinge, die wahr sein können, aber nicht bekannt sind. Sie denken vielleicht, ich würde mir schwer tun, ein Beispiel zu finden, bedenken Sie jedoch Folgendes:

Wir leben in einem expandierenden Universum. Wenn wir andere Galaxien betrachten, entfernen sie sich von uns und beschleunigen. In einer fernen Zukunft (in etwa zwei Billionen Jahren) werden alle anderen Galaxien so weit entfernt sein, dass sie nicht wahrnehmbar sind (technisch werden sie sich so schnell bewegen, dass das Licht mit Gammastrahlen ausgedehnt wird Wellenlängen länger als das Universum breit ist). Wenn Sie in zwei Billionen Jahren ein Astronom wären, gibt es keine Möglichkeit zu wissen, dass es im Universum Milliarden anderer Galaxien gibt - und wenn jemand es vorschlug, würden Sie lachend lachen und sagen: „Zeig mir die Beweise; du hast nichts."

Wenn Sie dies im Hinterkopf behalten, kommen Sie zurück in die Gegenwart. Möglicherweise gibt es wahre Dinge über das Universum, die wir niemals erfahren können. Schluck!

+

Langweilig…

Unbekanntes Ding: Gibt es uninteressante Leute?

Es ist ziemlich einfach zu argumentieren, dass es keine uninteressanten Menschen gibt:

Erwägen Sie, eine Liste uninteressanter Menschen zu erstellen. Einer dieser Menschen wird der jüngste sein - und der jüngste uninteressante Mensch ist an sich schon interessant - deshalb sollten sie von der Liste gestrichen werden. Jetzt gibt es eine neue, jüngste uninteressante Person, die auch aus der Liste entfernt werden kann usw., bis die Liste leer ist. Wenn Sie also jemanden treffen, den Sie für uninteressant halten, müssen Sie es falsch verstanden haben.