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Top 10 faszinierende Fakten über das Number Pi
Die bekannteste Tatsache über Pi, die normalerweise auf 3.14159 gerundet ist, besteht darin, dass sie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser darstellt. Pi ist auch eine irrationale Zahl, daher kann sie nicht als einfacher Bruch geschrieben werden. Daher ist pi eine unendlich lange, sich nicht wiederholende Dezimalzahl, die es zu einer der interessantesten und geheimnisvollsten Zahlen macht, die der Mensch kennt.
10Erste Berechnung
Es wird angenommen, dass die erste Berechnung von Pi um 220 v. Chr. Von Archimedes von Syrakus erhalten wurde. Archimedes hat die Formel A = pi r durch Annäherung der Fläche eines Kreises basierend auf der Fläche eines regulären Vielecks innerhalb des Kreises und der Fläche eines Vielecks, in dem der Kreis umschrieben wurde, abgeleitet. Die beiden Polygone bildeten daher die oberen und unteren Grenzen für die Fläche eines Kreises, sodass Archimedes sich annähern konnte, dass das fehlende Puzzleteil (pi) zwischen 3 1/7 und 3 10/71 lag.
Der prominente chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzi (429-501) berechnete Pi später auf 355/113, obwohl es noch immer ein Rätsel ist, wie er diese unglaublich genaue Messung erreichen konnte, da es keine Aufzeichnungen über seine Arbeit gibt.
Die wahre Fläche von 9A Circle ist nicht bekannt
Johann Heinrich Lambert hat im 18. Jahrhundert bewiesen, dass Pi irrational ist - es kann nicht als ganzzahliger Bruch ausgedrückt werden. Rationale Zahlen können immer als Bruch geschrieben werden, wobei sowohl der Zähler als auch der Nenner ganze Zahlen sind. Obwohl es möglicherweise versucht sein könnte, pi als einfaches Verhältnis von Umfang / Durchmesser (pi = C / D) zu betrachten, ist es immer der Fall, dass, wenn der Durchmesser eine ganze Zahl ist, der Umfang keine ganze Zahl ist und umgekehrt.
Die Irrationalität von Pi bedeutet, dass wir den Umfang (und danach die Fläche) eines Kreises niemals wirklich erkennen können. Diese frustrierende, aber scheinbar unvermeidliche Tatsache hat einige Mathematiker dazu veranlasst, darauf hinzuweisen, dass es genauer ist, einen Kreis als unendlich viele kleine Ecken zu betrachten, anstatt einen Kreis als "glatt" zu betrachten.
8 Buffons Nadel
Die erstmals im Jahre 1777 von Geometrikern und Mathematikern entdeckte Nadel von Buffon ist eines der ältesten und faszinierendsten Probleme auf dem Gebiet der geometrischen Wahrscheinlichkeit. So funktioniert das.
Wenn Sie eine Nadel mit einer Einheitslänge auf ein Blatt Papier fallen lassen, deren Linien durch die gleiche Einheitslänge getrennt sind, hängt die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine der Linien auf der Seite kreuzt, direkt mit dem Wert von pi zusammen.
Es gibt zwei Variablen, die an dem Nadelabwurf beteiligt sind: 1) der Winkel, um den die Nadel fällt, und 2) der Abstand vom Nadelzentrum zur nächstgelegenen Linie. Der Winkel kann zwischen 0 und 180 Grad variieren und wird gegen eine Linie parallel zu den Linien auf dem Papier gemessen.
Es stellt sich die Wahrscheinlichkeit heraus, dass die Nadel landet, so dass sie eine Linie schneidet, genau 2 / pi oder ungefähr 64 Prozent. Das bedeutet, dass man mit dieser Technik pi theoretisch berechnen könnte, wenn man genug Geduld hatte, um genügend Versuche durchzustehen, obwohl das Experiment scheinbar nichts mit Kreisen oder gar abgerundeten Kanten zu tun hat.
Dies kann etwas schwer vorstellbar sein, also experimentieren Sie hier selbst mit dem Phänomen.
7Pi und das Ribbon-Problem
Stellen Sie sich vor, Sie nehmen ein Band und wickeln es um die Erde. (Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass die Erde eine perfekte Kugel mit einem Umfang von 24.900 Meilen ist.) Versuchen Sie nun, die erforderliche Länge eines Bandes zu bestimmen, das die Erde in einem Abstand von einem Zoll über ihrer Oberfläche umgeben könnte. Wenn Sie instinktiv glauben, dass das zweite Band wesentlich länger sein müsste als das erste, wären Sie nicht alleine. Sie wären jedoch falsch. Tatsächlich würde das zweite Band nur um 2 pi oder ungefähr 6,28 Zoll länger werden.
Dieser Head-Scratcher bricht zusammen: Wenn man annimmt, dass die Erde eine perfekte Kugel ist, kann man sie als einen riesigen Kreis mit einem Umfang von 24.900 Meilen am Äquator vorstellen. Dies bedeutet, dass der Radius 24.900 / 2pi oder ungefähr 3.963 Meilen betragen würde. Nun würde das hinzugefügte zweite Band, das einen Zoll über der Erdoberfläche schwebt, einen Radius haben, der einen Zoll länger ist als derjenige der Erde, was zu der Gleichung C = 2 Pi (r + 1) führt, die äquivalent zu C = 2 Pi (r ) + 2 Pi. Daraus können wir erkennen, dass der Umfang des zweiten Bandes um 2pi zunimmt. Unabhängig vom ursprünglichen Radius (egal, ob es sich um die Erde oder um einen Basketball handelt), führt die Vergrößerung eines Radius um einen Zoll immer zu einer Vergrößerung des Umfangs um 2pi (nur 6,28 Zoll).
6Navigation
Pi spielt eine wichtige Rolle in der Navigation, insbesondere wenn es um die globale Positionierung im großen Maßstab geht. Da Menschen im Vergleich zur Erde recht klein sind, neigen wir dazu, Reisen als linear zu betrachten. Wenn Flugzeuge fliegen, fliegen sie natürlich auf einem Kreisbogen. Die Flugbahn muss daher als solche berechnet werden, um die Reisezeit, den Kraftstoffverbrauch usw. genau zu bestimmen. Wenn Sie sich mit einem GPS-Gerät auf der Erde befinden, muss Pi bei diesen Berechnungen eine wichtige Rolle spielen.
Wie sieht es mit einer Navigation aus, die auf noch größeren Entfernungen noch genauer ist als ein Flug von New York nach Tokio? Susan Gomez, Manager des GNC-Subsystems (GNC) der Internationalen Raumstation, erklärt, dass die meisten Berechnungen der NASA mit pi 15 oder 16 Ziffern erfordern, insbesondere wenn hochgenaue Berechnungen für die weltraumgestützte globale Positionierung erforderlich sind System / Inertial Navigation System (SIGI) - das Programm, das Raumfahrzeuge während Missionen steuert und stabilisiert.
5Signalverarbeitung und Fourier-Transformation
Pi ist zwar am besten für geometrische Messungen wie das Berechnen der Fläche eines Kreises bekannt, spielt aber auch bei der Signalverarbeitung eine herausragende Rolle, hauptsächlich durch eine als Fourier-Transformation bekannte Operation, bei der ein Signal in ein Frequenzspektrum umgewandelt wird. Die Fourier-Transformation wird als "Frequenzbereichsdarstellung" des Originalsignals bezeichnet, da sie sich sowohl auf den Frequenzbereich als auch auf die mathematische Operation bezieht, die den Frequenzbereich einer Funktion der Zeit zuordnet.
Menschen und Technologien nutzen dieses Phänomen gleichermaßen, wenn ein Signal eine grundlegende Konvertierung benötigt, z. B. wenn Ihr iPhone eine Nachricht von einem Zellenturm empfängt oder wenn Ihr Ohr zwischen Tönen mit unterschiedlicher Tonhöhe unterscheidet. Pi, das in der Fourier-Transformationsformel prominent erscheint, spielt im Umwandlungsprozess eine grundlegende, jedoch etwas mysteriöse Rolle, da es im Exponenten der Euler-Zahl liegt (die berühmte mathematische Konstante entspricht 2,71828 ...).
Dies bedeutet, dass Sie sich jedes Mal, wenn Sie auf Ihrem Mobiltelefon einen Anruf tätigen oder ein Rundfunksignal hören, zum Teil danken müssen.
4Normale Wahrscheinlichkeitsverteilung
Während erwartet wird, dass pi in Operationen wie der Fourier-Transformation zu finden ist, die sich hauptsächlich mit Signalen (und darauf folgenden Wellen) befassen, kann es überraschend sein, dass pi eine Hauptrolle in der Formel für die normale Wahrscheinlichkeitsverteilung spielt. Zweifellos haben Sie diese berüchtigte Verteilung bereits kennengelernt - sie ist an einer Vielzahl von Phänomenen beteiligt, die sich regelmäßig entfalten, von Würfeln bis zu Testergebnissen.
Immer wenn Sie sehen, wie pi in einer komplexen Gleichung lauert, gehen Sie davon aus, dass ein Kreis irgendwo im mathematischen Gewebe versteckt ist. Im Falle einer normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung wird pi durch das Gaußsche Integral (auch als Euler-Poisson-Integral bezeichnet) geliefert, das die Quadratwurzel von pi aufweist. Tatsächlich genügen nur geringfügige Änderungen der Variablen im Gaußschen Integral, um die Normalisierungskonstante der Normalverteilung zu berechnen.
Eine häufige, aber nicht eingängige Anwendung des Gaußschen Integrals umfasst das "weiße Rauschen", eine normalverteilte Zufallsvariable, die zur Vorhersage von Windböen in einem Flugzeug bis hin zu Strahlschwingungen während des Baus mit großem Maßstab verwendet wird.
3 Fließende Flüsse
Pi hat eine faszinierende und unerwartete Beziehung zu sich schlängelnden Flüssen. Der Pfad eines Flusses wird hauptsächlich durch seine Wendigkeit beschrieben - seine Tendenz, sich beim Durchqueren einer Ebene von einer Seite zur anderen zu bewegen. Dies kann mathematisch beschrieben werden als die Länge seines gewundenen Pfads geteilt durch die Länge des Flusses von seiner Quelle bis zu seiner Mündung. Es stellt sich heraus, dass der durchschnittliche Fluss, unabhängig von der Länge des Flusses oder der Anzahl der Windungen, die er auf seinem Weg nimmt, eine scheinbare Geschwindigkeit von ungefähr Pi hat.
Albert Einstein machte mehrere Beobachtungen, warum sich Flüsse so verhalten. Er bemerkte, dass Wasser außerhalb einer Flussbiegung schneller fließt, was zu einer schnelleren Erosion am Ufer führt, was wiederum eine größere Biegung verursacht. Diese größeren Kurven treffen aufeinander und der Fluss bildet eine "Abkürzungsverbindung". Diese Hin- und Herbewegung scheint sich ständig zu korrigieren, wenn sich der Fluss des Flusses in Richtung Pi bewegt.
2Pi und die Fibonacci-Sequenz
Während des größten Teils der Geschichte gab es nur zwei Methoden zur Berechnung von Pi, eine von Archimedes und die andere vom schottischen Mathematiker James Gregory.
Es stellt sich jedoch heraus, dass Pi auch mit der Fibonacci-Sequenz berechnet werden kann. Jede nachfolgende Zahl in der Fibonacci-Folge ist die Summe der vorherigen zwei Zahlen. Die Sequenz beginnt mit 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 und setzt sich unendlich fort. Und da der Arkustangens von 1 pi / 4 ist, bedeutet dies, dass pi in Form von Fibonacci-Zahlen ausgedrückt werden kann, indem die Gleichung zu arctan (1) * 4 = pi umgestellt wird.
Die Fibonacci-Sequenz ist nicht nur eine inhärent faszinierende und schöne Zahlensammlung, sondern spielt auch eine wichtige Rolle bei einer Vielzahl natürlicher Vorkommnisse im gesamten Kosmos. Es kann eine erstaunliche Vielfalt von Phänomenen in Mathematik und Naturwissenschaften, Kunst und Natur modellieren oder beschreiben. Die mathematischen Ideen, zu denen die Fibonacci-Sequenz führt, wie der Goldene Schnitt, Spiralen und Kurven, wurden lange Zeit wegen ihrer Schönheit geschätzt, doch die Mathematiker haben immer noch Schwierigkeiten, die Tiefe der Verbindung zu erklären.
1Quantum-Mechanik
Pi ist zweifellos ein unvermeidlicher und komplexer Bestandteil unserer Welt, aber wie sieht es mit dem Universum aus? Pi manifestiert sich im gesamten Universum und ist tatsächlich in die Gleichungen involviert, die das Wesen des Kosmos zu erklären suchen. Tatsächlich verwenden viele Formeln, die im Bereich der Quantenmechanik, die die mikroskopische Welt der Atome und Kerne regeln, verwendet werden, Pi.
Die bekanntesten solcher Gleichungen sind vielleicht die Einstein-Feldgleichungen (auch einfach als Einstein-Gleichungen bekannt) - ein Satz von 10 Gleichungen in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, die die grundlegende Wechselwirkung der Gravitation als Ergebnis der durch die Masse gekrümmten Raumzeit beschreiben und Energie. Die in einem System vorhandene Schwerkraftmenge ist proportional zu der Menge an Energie und Impuls, wobei die Proportionalitätskonstante mit G, einer numerischen Konstante, zusammenhängt.