10 Fakten aus der bizarren Welt der unendlichen Mathematik

Im späten 19. Jahrhundert entdeckte der deutsche Mathematiker Georg Cantor „transfinite“ Mathematik oder Mathematik jenseits der Unendlichkeit. Mit dieser frühen Arbeit wurden wir in eine Welt eingeführt, in der es Zahlen gibt, die größer als unendlich sind, und Gleichungen, die nicht den üblichen Regeln der Arithmetik folgen. Es genügt zu sagen, es ist wahrscheinlich nicht das, was Sie in der High School gelernt haben.

Cantors Arbeit war anfangs umstritten und wurde von einigen der wichtigsten mathematischen Figuren seiner Zeit heftig angegriffen. Es wurde jedoch nach und nach als Kanon akzeptiert und hat dazu beigetragen, den Weg für die Mengenlehre zu ebnen, die selbst für die gesamte Mathematik ein potenzieller Faktor ist.

10 Infinity Plus One (oder zwei oder unendlich) ist unendlich

Es stellt sich heraus, dass dieses alte Sprichwort aus der Kindheit etwas zu bieten hat. In Anbetracht der Natur des Unendlichen ist jede Zahl, die zu ihm hinzuaddiert, von ihm subtrahiert, multipliziert oder geteilt wird, gleich unendlich. Dies ist in einem klassischen Unendlichkeitspuzzle zu sehen, das als Hilberts Hotelparadox bekannt ist:

Es gibt ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern. Ein müder Reisender kommt und bittet um ein Zimmer, wird aber darüber informiert, dass alle Zimmer belegt sind. Wie kann das Hotel keine Zimmer mehr haben, da es unendlich viele Zimmer hat? Was soll der Reisende tun?

Die Antwort ist, dass der Reisende bitten sollte, dass die Person in Zimmer eins in Zimmer zwei umzieht, die Person in Zimmer zwei in Zimmer drei und so weiter… und sie nimmt Zimmer eins. Infinity ist unendlich elastisch und kann beliebig erweitert oder geschrumpft werden, egal, ob es sich um einen Reisenden handelt oder einen Googolplex-Reisenden (ja, das ist eine tatsächliche Zahl).

9 Es gibt so viele ungerade Zahlen (und so viele Zahlen, die in 123 oder 423 enden), wie Zahlen vorhanden sind

Infinity ist so formbar, dass wie bei Hilberts Hotel jede Serie von unendlichen Zahlen in eine so genannte "Eins-zu-Eins-Korrespondenz" mit einem unendlichen Teil dieser Serie aufgenommen werden kann. In Laien ausgedrückt bedeutet dies, dass wenn Sie alle positiven ganzen Zahlen (0, 1, 2, 3, 4…) und alle positiven geraden Zahlen (0, 2, 4, 6, 8…) nehmen, jede der ganzen Zahlen dies kann mit einer geraden Zahl abgeglichen werden. So kann Null mit Null abgeglichen werden, eine mit zwei, zwei mit vier und so weiter.

Da die beiden Zahlenreihen (oder „Mengen“) für jede Zahl übereinstimmen, können wir zu Recht sagen, dass sie die gleiche Größe haben. Dieses Gedankenexperiment, das nach seinem berühmten Entdecker Galileo-Paradox genannt wurde, zeigt, dass die Größe der Unendlichkeit nicht mit den groben Werkzeugen der Grundrechenarten wie Division oder dem Hinzufügen endlicher Zahlen verändert werden kann. Dafür brauchen Sie etwas anspruchsvolleres.

8 Einige Unendlichkeiten sind größer als andere

Die Kehrseite der Eins-zu-Eins-Entsprechung ist, dass, wenn es eine unendliche Reihe von Zahlen gibt, die immer noch Zahlen übrig haben, nachdem sie mit einer anderen unendlichen Reihe abgeglichen wurden, die frühere Reihe von Unendlichkeiten tatsächlich größer ist als die Unendlichkeit, mit der es zusammenpasste. Dies mag unmöglich erscheinen, aber Sie können wahrscheinlich intuitiv einen Fall verstehen, in dem dies zutrifft: Die unendliche Anzahl ganzer Zahlen (0, 1, 2, 3…) ist kleiner als die unendliche Anzahl irrationaler Zahlen. Wenn Sie sich an die Mathematik in der High School erinnern, sind irrationale Zahlen Zahlen wie pi, die eine Reihe von Dezimalzahlen haben, die für immer andauern (3.1415…). Cantor zeigte, dass die unendliche Anzahl irrationaler Zahlen größer ist als die unendliche Anzahl ganzer Zahlen, wobei ein genialer, aber einfacher Trick (relativ zu den meisten bahnbrechenden mathematischen Beweisen) verwendet wurde.

Er ging davon aus, dass irrationale Zahlen mit ganzen Zahlen verglichen werden können, und schrieb eine Reihe von Zahlen zwischen null und eins auf. (Okay, das sind meine eigenen Zufallszahlen aus dem Mashing der Tastatur, aber Sie verstehen den Punkt.) Es gibt eine unendliche Anzahl dieser Zeilen:

0,1435… mit 0 abgeglichen
0,7683… stimmt mit 1 überein
0,1982… mit 2 übereinstimmen
0,9837… mit 3 übereinstimmen

Und so weiter. Sie können dann eine Nummer aus dieser Serie erstellen, indem Sie die erste Ziffer in der ersten Zeile, die zweite Ziffer in der zweiten Zeile usw. nehmen. für die obigen Zahlen wäre das 0,1687…

Nun könnte es eine Zahl von 0,1687 geben ... irgendwo in diesem Zahlenstapel. Wenn Sie jedoch zu jeder Ziffer eine Zahl hinzufügen, wird die Zahl zu 0,2798…, und diese Zahl kann nicht im Stapel enthalten sein, da sie sich definitionsgemäß um mindestens eine Ziffer von den Zahlen im Stapel unterscheidet. Daher gibt es immer noch irrationale Zahlen, nachdem versucht wurde, sie mit normalen ganzen Zahlen abzugleichen. Daher können wir sagen, dass die unendliche Anzahl von irrationalen Zahlen größer ist als die unendliche Anzahl von ganzen Zahlen.

Wenn Sie denken, dass das verrückt ist, halten Sie Ihren Hut ...

7 Es gibt unendlich viele Ebenen der Unendlichkeit

Cantor zeigte auch, dass die Anzahl der unendlichen ganzen Zahlen auf einer ganz anderen Ebene der Unendlichkeit liegt als die Anzahl der irrationalen Zahlen. Es gibt auch eine Art der Unendlichkeit, die größer ist als die Anzahl der irrationalen Zahlen, eine Ebene der Unendlichkeit darüber das, ein anderes darüber und so weiter, durch die Unendlichkeit. Jede Unendlichkeit, die zu einer höheren Unendlichkeitsstufe hinzugefügt wird, summiert sich automatisch auf die höhere Unendlichkeitsstufe auf dieselbe Weise wie Unendlichkeit plus Eins gleich Unendlichkeit.

Das Reader's Digest Dies ist der Fall, bei dem Sie eine unendliche Reihe von Zahlen (z. B. 0, 1, 2, 3…) verwenden können und dann eine größere unendliche Reihe erstellen können, indem Sie die Anzahl aller möglichen Kombinationen von Nummern in der Originalserie. In der Mathematik wird dies als Potenzsatz bezeichnet.Für die ganzen Zahlen würde der Leistungsumfang also nicht nur 1, 2, 3, sondern auch jede Zahlenkombination in dieser unendlichen Zahlenreihe umfassen, einschließlich 1 Milliarde und 1, 2, 13, 2 Millionen… Wenn Sie Ihr erstes Leistungsset erstellt haben, gibt es keinen Grund, warum Sie keinen Leistungssatz des Leistungssatzes oder einen Leistungssatz eines Leistungssatzes eines Leistungssatzes eines Leistungssatzes machen können…

6 All dies hat Georg Cantor wahnsinnig gemacht

Wie Sie sich vorstellen können, kann es zu einer Reihe von Hinweisen auf Ihren Realitätssinn führen, wenn Sie all zu viel darauf eingehen, und genau das ist dem Entdecker passiert. Cantor glaubte, dass die nächste Unendlichkeit nach den ganzen Zahlen die Anzahl der irrationalen Zahlen sei. Das einzige Problem war, dass er es nicht beweisen konnte.

Dieses berühmte mathematische Problem bezeichnete die Kontinuumshypothese (er sagte schließlich gerade, dass Gott ihm offenbart hatte, dass die Kontinuumshypothese wahr war), kombiniert mit den bösartigen Angriffen auf seine Arbeit, führte schließlich zu einem psychologischen Zusammenbruch und er verbrachte den Rest davon seine Tage in und außerhalb von Krankenhäusern, während er versuchte zu beweisen, dass Francis Bacon Shakespeares Dramen schrieb.

5 Das Problem, das Cantor Wahnsinnig machte, ist unlösbar

Einige Leute haben versucht, eine strenge Grundlage für die Mathematik zu schaffen, indem sie eine Reihe von Axiomen verwenden oder Aussagen, die angeblich so alltäglich sind, dass man ihnen ohne vorherige Erklärung vertrauen kann. (Zum Beispiel kann man nicht gleich zwei sein. Warum? Weil!)

Der Mathematiker Paul Cohen hat in den 1960er Jahren bewiesen, dass die Kontinuumshypothese unlösbar ist, wenn wir davon ausgehen, dass die am häufigsten verwendeten Axiome zutreffen. Die mathematische Arbeit wird jedoch bis heute unter der Annahme durchgeführt, dass die Axiome wahr sind und die Kontinuumshypothese falsch ist, sowie die umgekehrte Annahme, dass die konventionellen Axiome wahr sind, sowie die Kontinuumshypothese. Mathematiker betrachten die unterschiedlichen Annahmen über die Kontinuumshypothese als zu verschiedenen „mathematischen Universen“, da wir nicht beweisen können, dass das eine oder das andere wahr ist.

4 Das von Kantor gewählte Symbol für die Unendlichkeit ist ein hebräischer Buchstabe

Wie Astronomen und Biologen erhalten Mathematiker, die ein neues Konzept oder einen wichtigen Wert entdecken, zumindest einen gewissen Einfluss auf ihren Namen. In Anbetracht dieser Macht würden Sie denken, dass heute mehr klingonische Charaktere in Mathematik auf hoher Ebene stehen würden, aber nein. So kreativ wie Mathematiker auch sein mögen, kaum einer möchte von den sehr klassischen griechischen Symbolen abweichen. Aus diesem Grund können verschiedene griechische Buchstaben je nach dem von Ihnen verwendeten Mathematikzweig so viele verschiedene Bedeutungen haben - wir haben einfach so viele mathematische Konstanten und Konzepte als griechische Buchstaben.

Während sein religiöser Hintergrund immer noch von Historikern diskutiert wird, sah Cantor seine Arbeit als eine Möglichkeit, sich durch Mathematik dem Göttlichen zu nähern. Daher entschied er, dass die verschiedenen Stufen der Unendlichkeit durch den ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets symbolisiert werden: Aleph. Die Menge aller ganzen Zahlen wäre Aleph-Null oder Aleph mit einem Null-Index. Die nächsthöhere Unendlichkeit wäre Aleph-One, die, wie bereits erwähnt, die Anzahl der irrationalen Zahlen sein kann oder nicht.

3 Es gibt eine Unendlichkeitsstufe, in der Infinity Plus nicht gleich Eins plus Unendlichkeit ist

Neben den Aleph-Zahlen hatte Cantor auch Omega-Zahlen. Die erste Omega-Zahl ist definiert als die kleinste Zahl, die größer als die Anzahl der ganzen Zahlen ist, oder die erste Zahl nach dem Aleptischen. Um noch einmal auf Hilberts Hotelbeispiel zurückzugreifen, ist die erste Omega-Nummer eine Hütte außerhalb des Hotels, wenn die Anzahl der Zimmer völlig leer ist. Die nächste Omega-Zahl danach ist einfach Omega plus Eins. Das bedeutet jedoch, dass eins plus Omega anders ist als omega plus eins, da das eine in dem ersteren einfach von omega absorbiert würde (da unendlich unendlich formbar ist), während das nach omega den nächsten Schritt darstellt.

Unglücklicherweise ersetzt ein besserer technischer Beweis dies die Fähigkeiten des intellektuellen Autors Ihres bescheidenen Autors, aber ich habe es in einem Buch gelesen, also muss es wahr sein.

2 Infinity Minus Infinity ist nicht gleich Null

Unendlich minus unendlich ist auf die gleiche Weise undefiniert, wie die Division durch Null undefiniert ist.

Um ein Beispiel zu geben, warum dies so ist, da unendlich plus eins gleich unendlich ist ([unendlich + 1] = [unendlich]), wenn wir das unendlich von beiden Seiten abziehen, bleibt 1 = 0. Ähnlich und für viele der aus den gleichen Gründen ist Unendlichkeit geteilt durch Unendlichkeit keine, sondern auch undefiniert.

1 Dies hat tatsächlich naturwissenschaftliche Anwendungen

Wie in vielen anderen Bereichen der Mathematik hat sich herausgestellt, dass ein rein theoretisches Gedankenexperiment Auswirkungen auf die harten Wissenschaften hatte. Zum Beispiel summieren sich einige quantenmechanische Gleichungen zu unendlich; In der Praxis passen die Physiker die Gleichung an, um Berechnungen durchführbar zu machen. Es ist jedoch nicht klar, ob dies unter Berücksichtigung unserer Kenntnisse über die transfinite Mathematik gerechtfertigt ist.

In der Kosmologie wird der Weltraum unendlich groß, der Raum unendlich groß, das Universum wird sich für immer ausdehnen, oder es gibt unendlich viele Universen. Dies sind alles offene Fragen, die auf unendlicher Logik beruhen. Einige Forscher haben sogar Anwendungen des Hilbert-Hotel-Paradoxons sowohl in der Quanten- als auch in der klassischen Optik gefunden.